Занимательная математика

Число 37 обладает многими любопытными свойствами. Так, умноженное на 3 и на числа, кратные 3 (до 27 включительно), оно дает произведения, изображаемые одной какой-либо цифрой:

37 × 3 = 111;
37 × 6 = 222;
37 × 9 = 333;
37 × 12 = 444;
37 × 15 = 555;
37 × 18 = 666;
37 × 21 = 777;
37 × 24 = 888;
37 × 27 = 999.

Очень легко запомнить квадраты таких чисел, как 11, 111, 1111 и т д. А именно:

11² = 121;

111² = 12 321;

1111² = 1 234 321

и т. д.

Интересные свойства числа 9 часто применяются в арифметике как для теоретических изысканий и практических действий, так и для составления различных занимательных задач или так называемых «головоломок».

Распространено также практическое применение девятки для проверки умножения и деления. Основано оно на том свойстве всякого числа, что остаток, получаемый от деления числа на девять, всегда равен остатку от деления на 9 суммы цифр этого числа. Укажем здесь еще несколько интересных применений этого числа.

Для удобства чтения и запоминания больших чисел цифры их разбивают на так называемые классы: справа отделяют три цифры (первый класс), затем еще три (второй класс) и т. д. Последний класс может иметь три, две или одну цифру. Между классами обычно оставляется небольшой пробел.

Например, число 35461298 записывают так: 35 461 298. Здесь 298 — первый класс, 461 — второй, 35 — третий. Каждая из цифр класса называется разрядом; счет разрядов также идет справа. Например, в первом классе 298 цифра 8 составляет первый разряд, 9 — второй, 2 — третий. В последнем классе может быть три, два разряда (в нашем примере: 5 — первый разряд, 3 — второй) или один.

В различных областях Индии существовали разнообразные системы нумерации. Одна из них распространилась по всему миру и в настоящее время является общепринятой. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке — санскрите (алфавит «девангари»).

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, ..., 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Впоследствии был введен особый знак (жирная точка, кружок) для указания пустующего разряда; знаки для чисел, больших 9, вышли из употребления, и нумерация «девангари» превратилась в десятичную поместную систему. Как и когда совершился этот переход — до сих пор неизвестно.

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем римской нумерации. Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для нумерации глав в книгах, строф в стихотворениях и т. д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра X могла составиться из двух пятерок. Точно так же знак для 1000 мог составиться из удвоения знака для 500 (или наоборот).

В школе обычно сообщают такой признак делимости на 8: если число, которое составляют последние три цифры данного числа, делится на 8, то и все данное число делится на 8.

Значит, вопрос сводится к делимости на 8 некоторого трехзначного числа. Но при этом ничего не говорится о том, как в свою очередь быстро узнать, делится ли это трехзначное число на 8. Делимость трехзначного числа на 8 тоже ведь не всегда сразу видна, приходится фактически производить деление.

Признак делимости на 4 проще. Здесь требуется, чтобы делилось на 4 число, состоящее только из двух последних цифр испытуемого числа.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли упростить и признак делимости на 8? Можно, если дополнить его специальным признаком делимости трехзначного числа на 8.

Одна из простейших задач, для решения которой понадобится найти наибольший общий делитель пары натуральных чисел a и b, — это задача сокращения дроби a/b.

Напомним, что если числа a и b делятся на одно и то же натуральное число a, то число а называется общим делителем пары чисел a и b. Любая пара натуральных чисел имеет хотя бы один общий делитель (а именно, d = 1), причем любой общий делитель не превосходит каждого из этих чисел. Поэтому среди всех делителей чисел a и b можно выбрать наибольший общий делитель, который обозначается через (a, b), например (20, 100) = 20, (65, 39) = 13. Если (a, b) = 1, то числа a и b называются взаимно простыми. При этом взаимно простые числа a и b совсем не обязательно сами по себе должны быть простыми числами; так, (33, 35) = 1, но 33 = 3 × 11 и 35 = 5 × 7.

При решении многих практических задач, в которых участвуют натуральные числа, немаловажную роль играет разложение этих чисел на множители. Основными «кирпичиками» в таком разложении являются простые числа, т. е. числа, большие 1 и делящиеся только на 1 и на себя.

Остальные натуральные числа, большие 1, называются составными (число 1 не относится ни к простым, ни к составным). Основная теорема арифметики гласит, что всякое натуральное число, кроме 1, может быть представлено в виде произведения простых множителей, причем это представление единственно, если отвлечься от порядка множителей.

Из всех действий арифметики самое своенравное — это деление. Оно обладает особыми свойствами, можно сказать, особым «нравом». Возьмем хотя бы обращение с нулем. Для всех других арифметических действий нуль — равноправное число. Его можно и прибавлять и вычитать; оно может быть множителем в действии умножения, но делителем никогда. Разделить на нуль вообще нельзя никакое число, никакое алгебраическое выражение. Это — важная особенность деления, и если к ней отнестись невнимательно, то легко попасть впросак; можно, скажем, «доказать» любое заведомо фальшивое утверждение — «парадокс».