Занимательная математика

В одной из песен «Одиссеи», знаменитой поэмы древнегреческого поэта Гомера, упоминается созвездие Большой Медведицы. Гомер определяет его, как «созвездие, которое никогда не погружает своих звезд в волны моря».

Точность описаний Гомера известна; его поэмы для нас один из основных источников знаний о древнейшей Греции.

Но на его родине вы увидели бы неожиданное зрелище: Большая Медведица будет на ваших глазах преисправно окунать свои звезды в волны Эгейского и Ионического морей. Это не удивительно: Греция — южная страна. На ее широте Медведица становится созвездием «заходящим»: ведь возле самого экватора за горизонт заходит и Полярная звезда.

В чем же дело?

О чем подумал шофер, когда он посмотрел на счетчик спидометра своей машины? Счетчик показывал число 15951. Шофер заметил, что количество километров, пройденных машиной, выражалось симметричным числом, то есть таким, которое читалось одинаково как слева направо, так и справа налево: 15951.

— Занятно!.. — пробормотал шофер. — Теперь нескоро, наверное, появится на счетчике другое число, обладающее такой же особенностью.

Однако ровно через 2 часа счетчик показал новое число, которое тоже в обе стороны читалось одинаково.

Определите, с какой скоростью ехал эти 2 часа шофер?

Из другого старинного русского учебника математики, носящего пространное заглавие:

«Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795), заимствую следующую задачу:

«Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую — 2 копейки, за третью — 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран».

По преданию, Эпименид утверждал, что все критяне лжецы. Вер­но ли это утверждение, если учесть, что сам Эпименид родом с острова Крит?

Эпименид — легендарный греческий поэт, живший на Крите в VI в. до н. э. Он-то и был первым Рипом ван Винкелем: по преданию, Эпименид проспал 57 лет. Приписываемое ему утверждение логически противоречиво, если предположить, что лжецы всегда лгут, а нелжецы всегда говорят правду. При таком пред­положении утверждение «Все критяне лжецы» не может быть истинным, ибо тогда Эпименид был бы лжецом и, следовательно, то, что он утверждает, было бы ложью. Но приписываемое Эпимениду утвержде­ние не может быть и ложным, ибо это означало бы, что критяне говорят только правду и, следовательно, то, что сказал Эпименид, также истинно.

Старинная задача о ходе шахматного коня:

Требуется обойти конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке конь был только один раз и затем возвратился бы в клетку, из которой вышел.

Существует легенда, индусского происхождения, которую рассказывает арабский писатель Асафад.

Брамин Сесса, сын Дагера, придумал игру в шахматы, где король, хотя и самая важная фигура, не может ступить шагу без помощи и защиты своих подданных пешек и других фигур. Изобрел он эту игру в забаву своему монарху и повелителю Индии, Шерану. Царь Шеран, восхищенный выдумкой брамина, сказал, что даст ему все, что только брамин захочет.

Легенда эта гласит, будто в городе Бенаресе, под куполом главного храма, в том месте, где находится середина Земли, бог Брама поставил вертикально на бронзовой площадке три алмазные палочки, каждая длиною в локоть и толщиною в корпус пчелы.

При сотворении мира на одну из этих палочек были надеты 64 кружка из чистого золота с отверстиями посередине — так, что они образовали род усеченного конуса, так как диаметры их шли в возрастающем порядке, начиная сверху.

Кот Мурлыка только что «помогал» своей юной хозяйке решать задачи. Теперь он сладко спит, а во сне видит себя окруженным тринадцатью мышами. Двенадцать мышей серых, а одна — белая. И слышит кот, говорит кто-то знакомым голосом:

«Мурлыка, ты должен съедать каждую тринадцатую мышку, считая их по кругу все время в одном направлении, с таким расчетом, чтобы последней была съедена белая мышь».

Но с какой мышки начать, чтобы правильно решить задачу?

Помогите Мурлыке.

Путешествуя прошлым летом по Грузии, мы иногда развлекались тем, что придумывали всевозможные необыкновенные истории, навеянные каким-нибудь памятником старины.

Как-то раз подошли мы к одинокой древней башне. Осмотрели ее, присели отдохнуть. А был среди нас студент-математик; он тут же придумал занятную задачу:

«Назад тому лет 300 жил здесь князь злой и надменный. Была у князя дочь-невеста, Дариджан по имени. Обещал князь свою Дариджан в жены богатому соседу, а она полюбила простого парня, кузнеца Хечо. Попытались было Дариджан и Хечо убежать в горы от неволи, но поймали их слуги князевы.