Занимательная математика

Пусть имеется некоторый комплекс условий K,с которым связано событиеA,причем событие Aпри выполнении условий комплекса K может как произойти, так и не произойти. Например, Kможет обозначать бросание игральной кости, а событие A — выпадение единицы. Пусть комплекс K воспроизводится некоторое число nраз, из которых m раз наступает событие A (в результате n бросаний кости единица выпала m раз). Тогда частотой событий A называется отношение m : n. Явление статистической устойчивости частот состоит в том, что при больших n частота события A почти не зависит от n и близка к некоторому числу. Это число и называется вероятностью события A. В приведенном примере бросания игральной кости частота выпадения единицы при большом числе бросаний близка к 1/6, следовательно, вероятность выпадения единицы равна 1/6.

Основываясь на том, что при большом числе наблюдений частота близка к вероятности, Р. Мизес предлагал определить вероятность как предел частоты. Однако проверка того, что частота стремится к вероятности как к пределу, требует производства бесконечного числа опытов и потому неосуществима. Поэтому принять определение Р. Мизеса — значит вообще отказаться от каких бы то ни было применений теории вероятности.

Возникновение теории вероятностей связано с вопросами азартных игр. Важный вклад в теорию вероятностей внес Я. Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX в. теория вероятностей получает применение к анализу ошибок наблюдений. Лаплас и Пуассон доказывали первые предельные теоремы. Развитие теории вероятностей во второй половине XIX в. связано с именами русских ученых П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и А. М. Ляпунова. В это время были доказаны закон больших чисел и центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. В XX в. теория вероятностей получает весьма серьезные применения в самых различных областях науки и техники. Возникает теория случайных процессов. Важнейшее значение для этой теории имеют работы А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина. В частности, А. Н. Колмогоровым изучены в рамках введенной им аксиоматики так называемые марковские процессы.

Предельные теоремы обобщены на суммы зависимых случайных величин С. Н. Бернштейном и рядом других математиков.

В конце XIX и начале XX в. создается математическая статистика. В 40-х годах нашего века в теории вероятностей возникают теория информации и теория игр.

Таким образом, современная теория вероятностей является весьма разветвленной наукой. В числе приложений можно указать приложения к теоретической физике (статистическая физика, квантовая теория), радиоэлектронике, теории случайных помехв линиях связи, теории автоматического регулирования при наличии случайных помех. В биологии и медицине теория вероятностей применялась главным образом для обработки результатов экспериментов. Теория игр может быть применена при решении многих военных задач, а также задач, связанных с анализом экономики.

Литература: Б. В. Гнеденко, Курс теории вероятностей, Физматгиз, М., 1961; А. М. Яглом, И. М. Яглом. Вероятность и информация, Физматгиз, М., 1960.