Занимательная математика

До недавнего времени каждому велосипеду при­сваивался номер подобно тому, как это делается для автомашин. Эти номера были шестизначные.

Некто купил себе велосипед, желая выучиться ездить на нем. Владелец велосипеда оказался на ред­кость суеверным человеком. Узнав о существовании повреждения велосипеда, именуемого «восьмеркой», он решил, что удачи ему не будет, если ему доста­нется велосипедный номер, в котором будет хоть одна цифра 8. Однако, идя за получением номера, он уте­шал себя следующим рассуждением. В написании каждого числа могут участвовать 10 цифр: 0, 1, ..., 9. Из них «несчастливой» является только цифра 8. По­этому имеется лишь один шанс из десяти за то, что номер окажется «несчастливым».

Правильно ли было это рассуждение?

Всего имелось 999999 номеров: от 000001, 000002 и т. д. до 999999. Подсчитаем, сколько существует «счастливых» номеров.

На первом месте может стоять любая из девяти «счастливых» цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9.

На втором — также любая из этих девяти цифр. Поэтому существует 9 • 9 = 9² «счастливых» двухзначных комбинаций. К каждой из этих комби­наций можно приписать (на третьем месте) любую из девяти цифр, так что «счастливых» трехзначных ком­бинаций возможно 9² • 9 = 9³.

Таким же образом определяем, что число шести­значных «счастливых» комбинаций равно 9⁶. Следует, однако, учесть, что в это число входит комбинация 000000, которая непригодна в качестве велосипедного номера. Таким образом, число «счастливых» велоси­педных номеров равно 9⁶ — 1 = 531440, что состав­ляет немногим более 53% всех номеров, а не 90%, как предполагал велосипедист.

Предоставляем читателю самостоятельно убедить­ся в том, что среди семизначных номеров имеется больше «несчастливых» номеров, чем «счастливых».

Источник: Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. Москва 1976.