Занимательная математика

Случайно вы наталкиваетесь на соотношения

3 + 7 = 10,

3 + 17 = 20,

13 + 17 = 30.

и замечаете между ними некоторое сходство. Вам приходит в голову, что числа 3, 7, 13 и 17 являются нечетными простыми числами. Сумма двух нечетных простых чисел есть обязательно четное число;  действительно, числа 10, 20 и 30 — четные. А что можно сказать о других четных числах? Ведут ли они себя подобным же образом? Первое четное число, являющееся суммой двух нечетных простых чисел, есть, конечно, 6 = 3 + 3. Двигаясь дальше, находим, что

8 = 3 + 5,

10 = 3 + 7 = 5 + 5,

12 = 5 + 7,

14 = 3 + 11 = 7 + 7,

16 = 3 + 13 = 5 + 11.

Всегда ли так будет продолжаться? Как бы то ни было, частные случаи, которые мы наблюдали, наводят на мысль об общем утверждении: любое четное число, большее чем 4, представимо в виде суммы двух нечетных простых чисел. Поразмыслив об исключительных случаях — числах 2 и 4, которые не могут быть расщеплены в сумму двух нечетных простых чисел, мы можем предпочесть следующее менее непосредственное, утверждение: любое четное число, не являющееся ни простым числом, ни квадратом простого числа, представимо в виде суммы двух нечетных простых чисел.

Итак, нам удалось сформулировать предположение. Мы нашли это предположение с помощью индукции. Иными словами, оно возникло у нас в результате наблюдения, было указано отдельными частными примерами.

Эти указания являются довольно легковесными; у нас есть лишь очень слабые основания верить в свое предположение. Мы можем, однако, найти некоторое утешение в том факте, что Гольдбах, математик впервые высказавший это предположение более двухсот лет тому назад, не обладал для этого сколько-нибудь более серьезными основаниями.

Справедливо ли предположение Гольдбаха? Никто сегодня не может ответить на этот вопрос. Несмотря на огромные усилия, затраченные на выяснение этого вопроса некоторыми великими математиками, предположение Гольдбаха сегодня является одним из тех многих свойств чисел, с которыми мы хорошо знакомы, но которые мы все еще не в состоянии доказать или опровергнуть.

Мы испытаем предположение Гольдбаха, если исследуем какое-нибудь новое четное число и выясним, является ли оно суммой двух нечетных простых ,чисел или нет. Исследуем, например, число 60. Число 60 четное, но является ли оно суммой двух простых чисел? Верно ли, что 60 = 3 + простое число? Нет, число 57 не простое. Имеет ли место 60 = 5 + простое число? Ответ снова будет «Нет»: число 55 не простое. Если так будет продолжаться и дальше, то предположение будет подорвано. Но следующее испытание дает

60 = 7 + 53,

и 53 есть простое число. Предположение подтвердилось еще в одном случае.

Противоположный результат решил бы судьбу предположения Гольдбаха раз и навсегда. Если, испытывая все простые числа до данного четного числа, например 60, вы ни в одном случае не приходите к разложению его в сумму двух простых чисел, то тем самым вы безвозвратно подрываете предположение. Подтвердив предположение в случае числа 60, вы не можете прийти к столь же определенному заключению. Вы, безусловно, не докажете теорему с помощью единственного подтверждения. Естественно, однако, истолковать такое подтверждение, как благоприятный признак, говорящий в пользу предположения, делающий его более правдоподобным, хотя, конечно, остается вашим личным делом, какой вес вы придадите этому благоприятному признаку.

Возвратимся на минуту к числу 60. После того как были испытаны простые числа 3, 5 и 7, мы можем испытать остающиеся простые числа до 30. Мы получим, таким образом, все разложения 60 в сумму двух простых чисел:

60 = 7 + 53= 13+ 47= 17 + 43= 19 + 41 = 23 + 37 = 29 + 31.

Посмотрим теперь снова на предыдущее рассуждение и попытаемся заметить в нем черты, типичные для процесса индукции.

Высказав предположение, мы пытались выяснить, является ли оно верным или ошибочным. Наше предположение было утверждением общего характера, возникшим из некоторых частных примеров, в которых оно оказалось верным.

Этот ли принцип лежит в основе индукции?

Источник: Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1975, с. 21—26.