Занимательная математика

Пи-число — число, равное отношению длины окружности к ее диаметру. Пи-число представляется бесконечной десятичной дробью 3,14159265... Обозначением этого числа греческой буквой π впервые пользовался английский математик У. Джонсон (1706), и оно стало общепринятым после одной из работ петербургского математика Л. Эйлера (1736).

В конце XVIII в. немецким математиком И. Ламбертом и французским математиком А. Лежандром было доказано, что пи-число является иррациональным, а в 1882 г. немецкий математик Ф. Линдеман доказал, что оно не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, т. е. является трансцендентным.

Из теоремы Линдемана следует невозможность построения с помощью циркуля и линейки отрезка прямой длиной, равной π; эта теорема окончательно устанавливает невозможность решения задачи о квадратуре круга.

Уже в глубокой древности делались попытки найти приближенное выражение для числа π с помощью рациональных чисел. В древнем Египте при вычислении площади круга для пи-числа использовали значение

Древнегреческий ученый Архимед (III в. до н. э.), рассматривая окружность как предел последовательностей правильных описанных и вписанных многоугольников, когда число их вершин бесконечно растет, нашел, что пи-число заключено между

и

Приближение

найдено было сначала китайским математиком Цзу Чуи-чжи во второй половине V в., а затем, значительно позднее, в Европе (в XVI в.); это приближение содержит ошибку лишь в седьмом знаке.

В дальнейшем делались многочисленные попытки найти более точное выражение для пи-числа. Например, самаркандский ученый Джемшид ибн-Мауд-аль-Каши (первая половина XV в.) вычислил 17 десятичных знаков π, голландский математик Лудольф ван Цейлен (начало XVII в.) — 32 десятичных знака.

В настоящее время благодаря применению вычислительных машин π найдено с огромной точностью.

К π приводит также разыскание пределов некоторых арифметических последовательностей и рядов. Впервые это обнаружил французский математик Ф. Виет. В 1674 г. Лейбниц получил медленно сходящийся ряд, представляющий число:

Удобнee для вычислений ряд, получаемый разложением arctg x при

Наилучшую формулу для вычисления π получил Дж. Мэчин, пользуясь также разложением arctg x в ряды. Он вычислил пи-число с точностью до 100 десятичных знаков.

Число π встречается и в некоторых формулах неевклидовой геометрии, где оно, конечно, не является отношением длины окружности к ее диаметру, а определяется чисто аналитически. Число π участвует и в известной формуле Эйлера

из которой еще глубже выясняется природа числа π.

Название и обозначение π происходит от начальной буквы греческого слова περιφέρεια — периферия, окружность.

Источник: Толковый словарь математических терминов. О.В. Мантуров. Москва 1965.