Занимательная математика

Первый период — период зарождения геометрии — относится ко времени примерно до V в. до н. э. и связан с развитием культуры землемерия в древнем Египте, Вавилонии и Греции.

Религиозные обряды связывались с построением жертвенников, практические потребности людей приводили к необходимости измерения площадей земельных участков, объемов (емкости) сосудов, корзин и зернохранилищ.

Геометрические сведения и факты в основном сводились к правилам о вычислении площадей и объемов, и надо полагать, что эти правила носили больше эмпирический, чем логический характер.

В VII в. до н. э. геометрические сведения были, по мнению греческих историков, перенесены из Египта и Вавилонии в Грецию. Греческие философы стали знакомиться с египетской и вавилонской мудростью. С этого времени начинается второй период развития геометрии — период систематического изложения геометрии как науки, где все предложения доказывались. К этому периоду были уже известны в Греции теоремы Фалеса (VI в. до н. э.). Фалес путешествовал в Египет и заимствовал сведения по геометрии и астрономии у жрецов о сумме углов в треугольнике, о вписанном угле и др. Анаксагор (VI в. до н. э.) занимался квадратурой круга и перспективой. Пифагор открывает несоизмеримые отрезки (иррациональные числа), доказывает теорему, носящую его имя. Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) — последователь Пифагора — изложил систематически геометрию («Элементы» геометрии) и определил площадь луночки.

Платон и его ученик Аристотель (IV в. до н. э.) хотя и не оставили никаких трудов по геометрии, но придавали большое значение системе и обоснованию геометрии, они положили начало определениям и аксиомам. Таким образом, геометрия достигла такого развития в Греции, что необходимо было ее систематизировать. Таким систематизатором был Евклид (III в. до н. э.), изложивший геометрию (элементарную) на базе основных предложений — аксиом в своих знаменитых книгах «Начала» (элементы), содержащих 13 томов. После Евклида появляется в Греции ряд выдающихся математиков — Архимед, Аполлоний, Эратосфен (III в. до н. э.) и др., которые обогатили геометрию новыми открытиями.

Падение античного рабовладельческого строя привело к застою в развитии геометрии в Греции, однако она развивалась в странах арабского Востока, в Средней Азии и Индии.

Зарождение капитализма в Европе привело к новому, третьему периоду развития геометрии — созданию в первой половине XVII в. аналитической геометрии, творцами которой были Декарт и Ферма. Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических фигур по их алгебраическим уравнениям, опираясь на метод координат. В связи с развитием дифференциального исчисления и исследованием геометрических свойств фигур локального характера (в окрестности данной точки) возникла в XVIII в. дифференциальная геометрия в работах Эйлера, Монжа. В работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля зародилась в первой половине XVII в. проективная геометрия, которая возникла сначала при изучении изображения перспективы, а затем при изучении тех свойств фигур, которые не изменяются при проектировании с одной плоскости на другую из какой-либо точки пространства (центральное проектирование), и впоследствии была завершена в трудах Ж. Понселе.

Четвертый период развития геометрии знаменуется созданием неевклидовых геометрий, первой из которых является геометрия Лобачевского, созданная им при исследовании обоснования геометрии, и в частности аксиомы о параллельных прямых. Содержание своей геометрии Н. И. Лобачевский впервые доложил на заседании физико-математического факультета Казанского университета в 1826 г. Работа была опубликована в 1829 г.

Венгерский математик Янош Бойаи опубликовал работу по тому же вопросу в 1832 г. и в менее развитой форме. С момента создания геометрии Лобачевского роль аксиоматического метода в математике вообще и в геометрии в частности стала весьма важной. Евклидова геометрия (обычная элементарная геометрия, изучаемая в школе) получила впоследствии свое аксиоматическое обоснование. Аксиоматическое обоснование получили и другие геометрии: Лобачевского, проективная, аффинная, многомерная евклидова (n-измерений) и др.

Источник: Толковый словарь математических терминов. О.В. Мантуров. Москва 1965.