Занимательная математика

С введением понятий сложения, вычитания, умножения и деления начинает развиваться наука о числах и действиях над ними — арифметика. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду чисел продолжается до настоящего времени и составляет теорию чисел. Понятие натурального числа кажется таким простым и естественным, что в науке долгое время не ставился вопрос об определении его в терминах каких-либо простых понятий.

Обоснование понятия натурального числа стало необходимым лишь в середине XIX в. в связи с развитием аксиоматического метода в математике и разработкой основ математического анализа. Это было сделано в 70-х годах XIX в. в работах немецкого метематика Кантора на основании понятия множеств, их равномощности, т. е. сопоставимости элементов одного множества элементам другого. Число предметов в совокупности, число элементов во множестве определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая ей равномощная. Другое понятие натурального числа было дано итальянским математиком Пеано на основании сформулированных им аксиом.

Первым обобщением натуральных чисел были дробные числа, возникшие в связи с потребностью производить измерения какой-либо величины, что заключается в сравнении ее с какой-либо другой величиной — эталоном.

Все дальнейшие расширения понятия числа уже не были более вызваны потребностями счета и измерения, а явились следствием развития науки. Первым из них было введение отрицательных чисел, обусловленное развитием алгебры. В Европе отрицательные числа ввел в употребление в XVII в. французский ученый Декарт. Далее были введены иррациональные числа. Изучение понятия непрерывности в работах немецких математиков Дедекинда, Кантора, Вейерштрасса привело к дальнейшему уточнению понятия числа и его свойств. Развитие теории алгебраических уравнений привело (XVIII в.) к понятию комплексного числа.

Комплексные числа образуют поле, и, как установил Вейерштрасс, совокупность всех комплексных чисел не может быть далее расширена за счет присоединения новых чисел так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных чисел.

Литература: Энц. элем. матем., т. I, М.—Л., 1951; И. Я. Депман, История арифметики Учпедгиз, М., 1959.