Занимательная математика

Аналитическая геометрия — часть математики, в которой исследуют­ся геометрические образы средствами алгебры на основе метода координат.

В аналитической геометрии на плоскости ставятся две основные задачи:

1) зная геометрические свойства линии (как геометрического места точек), найти ее уравнение, т. е. уравнение, связывающее координаты ее текущих (переменных) точек, и

2) зная уравнение линии, связывающее ее текущие координаты х и y, найти геометрические свойства этой линии.

Например, уравнение окружности с центром (а, b) и радиусом r в прямоугольной системе координат есть уравнение второй степени, в котором отсутствует член с произведением координат и коэффициенты при x² и y² равны. И обратно, если имеется уравнение второго порядка между текущими координатами x и y, в котором отсутствует член с произведением координат и коэффициенты при x² и y² равны, то это уравнение есть уравнение окружности (действительный или мнимый). Так, уравнение x²+2x+у² = 3 есть уравнение окружности в прямоугольных декартовых координатах с центром (-1,0) и радиусом r = 2.

Сущность метода координат на плоскости заключается в том, что положение всякой точки определяется пересечением двух линий, принадлежащих к двум различным системам координатных линий, которые, образуя координатную сетку, должны удовлетворять требованию: через каждую точку плоскости должна проходить одна и только одна линия каждой системы. Так устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости Евклида и парами чисел x и y — координатами точки, определяющими положение точки рассматриваемой плоскости. Аналогично устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками трехмерного пространства и тройками чисел (x, y, z) — координатами точки, определяющими положение точки в пространстве.

Исторически сложившееся название аналитической геометрии хотя и прочно удерживается, но не вполне отвечает содержанию этой науки. Для аналитической геометрии характерным является не только и не столько приложение алгебры к геометрии, а следовательно, использование метода анализа, сколько применение метода координат, почему и следовало бы ее назвать скорее координатной геометрией.

Идея координатного метода не является достижением нового времени, а уходит своими истоками в глубь античной истории: элементы идеи координат мы находим у древних математиков. Древние египтяне пользовались при выполнении строительных работ параллельными координатами (отрезками), греческие астрономы Гиппарх (II в. до н. э.) и Птолемей (II в. н. э.) пользовались сферическими координатами (широта и долгота) для определения положения различных точек земной поверхности. Однако отсутствие буквенной символики и общего представления о числе тормозило развитие координатного метода у греков.

Наибольший вклад в создание аналитической геометрии внесли французские ученые Ферма и Декарт. Пользуясь буквенной символикой, введенной французским ученым Виетом, Декарт и Ферма одновременно и независимо друг от друга дали науке новый метод — метод координат, лежащий в основе созданной ими в XVII в. аналитической геометрии.

Великий мыслитель Декарт понимал, более чем его современник Ферма, ограниченность и специфичность характера синтетической геометрии древних. Большой заслугой Декарта по сравнению с Ферма было введение в математику переменной величины, создание более удачной символики, установление тесной связи пространства с числом, алгебры с геометрией.

Творец аналитической геометрии Декарт не мог до конца провести «арифметизацию» геометрии; он не распространил метод координат на пространство и ограничился изучением только плоских кривых; система координат была у него несовершенной; была только одна горизонтальная ось, а ординаты представлялись переменными параллельными отрезками; не было четкого различия знаков координат.

Перенесение координатного метода на трехмерное пространство было осуществлено лишь в конце XVII в. и продолжено в XVIII в. работами нескольких ученых, прежде всего Клеро и Эйлера.

Во второй половине XIX в. в связи с бурным развитием физики и совершенствованием техники наблюдается прогресс в математике. В геометрии появляются новые понятия: вектор, тензор и др. Для характеристики материальной системы требуется большее число параметров, чем три. Трехмерное евклидово пространство становится тесным. В теории относительности рассматривается четырехмерное пространство, в квантовой механике состояние системы характеризуется бесконечномерными величинами. В математике стали прибегать к пространствам четырех измерений, n измерений и бесконечного числа измерений (функциональные пространства).

Лит.: О.В. Мантуров. Толковый словарь математических терминов.