Занимательная математика

Исторически введение комплексных чисел оказалось связанным с получением формулы вычисления корней кубичного уравнения:

    (1)

В первой трети XVI века итальянский математик Н. Тарталья показал, что корень этого уравнения всегда представляется выражением

    (2)

где u и v— решения системы уравнений

    (3)

Так, например, чтобы найти корень кубичного уравнения

необходимо составить систему (3) для данного уравнения, решая которую получим:

и

.

Используя, соотношение (2), находим x = 4, т. е. число 4 является корнем данного уравнения.

Однако оказалось, что существуют кубичные уравнения, для которых система (3)  не имеет решений в множестве действительных чисел, в то время как кубичное уравнение заведомо имеет действительный корень. Например, уравнение

имеет действительный корень x = 4, в чем легко убедиться, подставив в данное уравнение вместо x число 4.

Если же для данного уравнения написать систему (3), то окажется, что эта система не будет иметь решений в множестве действительных чисел.

Это непонятное тогда явление впервые объяснил итальянский математик Р. Бомбелли в 1572 г. и его объяснение, по существу, было основано на введении понятия комплексного  числа и правил действий над комплексными числами.

Однако вплоть до XIX века, несмотря на то, что аппарат комплексный чисел позволил получить много важных фактов, относящихся также и к действительным числам, само существование комплексных чисел многим математикам казалось весьма сомнительным. Лишь в XIX веке после появления работ К. Гаусса, в которых давалось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел (как точек или векторов на плоскости), существование комплексных чисел стало общепризнанным фактом.

Упомянем еще один факт, который также приводит к мысли о необходимости расширения множества действительных чисел до множества комплексных чисел. Как известно, натуральная степень любого действительного числа опять будет действительным числом. Однако операция извлечения корня (обратная операции возведения в степень) не всегда выполнима в множестве действительных чисел: не существует действительного числа a, четная степень которого была бы отрицательным числом. Другими словами, в множестве действительных чисел не существует числа, которое было бы корнем уравнения

,

где n — четное число, а b — отрицательное действительное число.

Следуя общему плану расширения числовых областей, как это уже неоднократно делалось (например, при введении понятий отрицательных чисел и рациональных чисел), множество действительных чисел можно расширить до множества чисел, которое будет замкнуто относительно операции извлечения корня.

Забегая вперед, заметим, что при этом попутно получается существенно новый результат и для тех случаев, когда операция извлечения корня выполнима в множестве действительных чисел.

Один из способов построения множества комплексных чисел заключается в том, что множество действительных чисел расширяется путем присоединения к множеству действительных чисел нового числового объекта — корня уравнения

.

Полученное «расширенное» множество называется множеством комплексных чисел.

Источник: А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука».